程伟，曲文波，赵忠奎

• 1:大庆高等专科学校，大庆石油学校

摘要(Abstract)：

Ｈｉｂｅｒｔ空间是满足平行四边形法则的Ｂａｎａｃｈ空间。利用Ｂａｎａｃｈ空间上一阶特征函数刻划Ｈｉｂｅｒｔ空间，给出Ｂａｎａｃｈ空间Ｘ成为Ｈｉｂｅｒｔ空间的一个充分必要条件。

关键词(KeyWords)：Hilbert空间；一阶特征函数；Banach空间；几何性质；特征性质

Abstract:

Keywords:

基金项目(Foundation):

作者(Author):程伟，曲文波，赵忠奎

Email:

参考文献(References)：

• x＋y￣2＋x－y￣2＝2（x￣2＋y￣2）。范数若满足平行四边形公式，则必可在x中定义内积，使x就是由内积导出的范数￣［1］。有了这样的特征公式，人们才对Hilbert空间的拓扑性质和几何结构有了深刻的理解。文献［2］引入了Banach空间上一阶特征函数，并用于刻划Banach空间几何性质。笔者进一步利用一阶特征函数来刻划Hilbert空间。设X为Banach空间，当x，y∈S（X），x≠±y，t∈R￣1时，称实变量t的实值函数f＿x和为空间X上的一阶特征函数￣［2］．其中f＿x∈S（X￣＊），x∈X，满足f＿x（x）＝x，f＿ax＝f＿x（a＞0），而S（X），S（X￣＊）分别表示X及其共扼空间X￣＊的单位球球面。文中主要结果为定理Banach空间x成为Hilbert空间的充要条件是对任意x，y∈S（X），f＿x（y）＝0，蕴含证明必要性设X为Hilbert空间，其内积为（·，·），则对x，y∈（X），f＿x＝（x，y），因而由f＿x（y）＝0，得充分性要证X成为Hilbert空间，只须证X的每一个二维子空间都是Hilbert空审稿人：武俊德此文联系人：程伟，男，1963年生，1983年毕业于大庆石油学院基础部。硕士。讲师。科研方向：泛函分析。间。现任取X的二维子空间，不妨仍记为X。由Loewner引理￣［3］，S（X，·）可被唯一的最小椭圆E所包含，E与S（x，·）交于±x＿0，±y＿0四点，x＿0与y＿0线性无关。在X中引进欧氏范数·＿E，使E＝S（X，·＿E），于是对x∈X，x＿E≤x。又因［X，·］与［x，·＿E］均为Banach空间，据双范数定理，存在c＞0，使x＿E≤x≤x＿E，x∈X。以下只要证明在假设条件下，x＝x＿E（x∈X）。即［x，·］等同于欧氏空间［X，·＿E］，从而更是Hilbert空间了。由于［X，·］上的有界线性泛函f＿x＿0也是［X，·＿E］上的有界线性泛函，且x＿0＿E＝x＿0＝1，故f＿x＿0（·）：（x＿0，·1），同理f＿Y＿0（·）＝（y＿0，·）。现取y∈S（X，·＿E），满足（x＿0，y）＝0，若y＝±y＿0，则y＝y＿0＝1；若y≠±y＿0，据x＿0，y的线性无关性（因（x＿0，y）＝0），存在t＿0，t＿1≠0，使x＿0＋t＿0y＝t＿1y＿0，由此推出因而由充分性假定及f＿x＿0（y）＝（x＿0，y）＝0，得于